Concepto

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales, definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.



En el curso de álgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables, como una ecuación de la forma ax + by = c, donde a, b y c son constantes pero a y b son diferentes de cero. La solución de estas ecuaciones eran pares ordenados. Ahora estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos variables.





Definición: Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y , consiste de dos ecuaciones de la forma:







donde a,b,c,d,r y s son constantes.


El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema.

Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas tres posibilidades como solución:


una solución única, esto es, que las rectas se intersecan en un punto. En este caso, se dice que el sistema es independiente. Ejemplo:

Las rectas tienen pendientes diferentes.


ninguna solución, esto es, que las rectas son paralelas. El sistema es inconsistente. Ejemplo:

Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes.

infinito número de soluciones, esto es, que las rectas coinciden. El sistema es dependiente. Ejemplo:

Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y.
Tenemos tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, estos son: método gráfico, método de sustitución y método de eliminación (adición). El método gráfico es un método que requiere la construcción de gráficas. Los métodos de sustitución y eliminación son métodos algebraicos.
Ejemplos para discusión: (por los métodos: gráfico, sustitución y eliminación)









Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables:







El determinante es el número ad – bc que nos dice algo acerca de la solución del sistema de ecuaciones. Esto es, si:


ad – bc ≠ 0 entonces el sistema tiene una solución única.

 

 
ad – bc
entonces el sistema tiene infinito número de soluciones o ninguna solución.